Ви є тут

Векторное произведение

Векторное произведение двух векторов в трёхмерном евклидовом пространстве — вектор, перпендикулярный обоим исходным векторам, норма которого равна площади параллелограмма, образованного исходными векторами, а выбор из двух направлений определяется так, чтобы ориентация пространства и тройки векторов (по порядку cтоящих в произведении и получившегося вектора) совпадали. Векторное произведение коллинеарных векторов (в частности, если хотя бы один из множителей — нулевой вектор) считается равным нулевому вектору.

Векторное произведение не обладает свойствами коммутативности и ассоциативности. Оно является антикоммутативным и, в отличие от скалярного произведения векторов, результат является опять вектором.

Широко используется во многих технических и физических приложениях. Например, момент импульса и сила Лоренца математически записываются в виде векторного произведения.

Векторное произведение полезно для «измерения» перпендикулярности векторов — модуль векторного произведения двух векторов равен произведению их модулей, если они перпендикулярны, и уменьшается до нуля, если векторы коллинеарны.


Векторным произведением вектора {\displaystyle {\vec {a}}}{\vec  {a}} на вектор {\displaystyle {\vec {b}}}{\vec  {b}} в пространстве {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}\mathbb {R} ^{3} называется вектор {\displaystyle {\vec {c}}}{\vec  {c}}, удовлетворяющий следующим требованиям:

  • длина вектора {\displaystyle {\vec {c}}}{\vec  {c}} равна произведению длин векторов {\displaystyle {\vec {a}}}{\vec  {a}} и {\displaystyle {\vec {b}}}{\vec  {b}} на синус угла между ними (т.е. площади параллелограмма, образованного векторами {\displaystyle {\vec {a}}}{\vec  {a}} и {\displaystyle {\vec {b}}}{\vec  {b}});
  • вектор {\displaystyle {\vec {c}}}{\vec  {c}} ортогонален каждому из векторов {\displaystyle {\vec {a}}}{\vec  {a}} и {\displaystyle {\vec {b}}}{\vec  {b}};
  • вектор {\displaystyle {\vec {c}}}{\vec  {c}} направлен так, что тройка векторов {\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}}{\vec  {a}},{\vec  {b}},{\vec  {c}} имела одинаковую ориентацию с пространством;

Обозначение:

{\displaystyle {\vec {c}}=[{\vec {a}}{\vec {b}}]=[{\vec {a}},\;{\vec {b}}]={\vec {a}}\times {\vec {b}}={\vec {a}}\wedge {\vec {b}}}{\displaystyle {\vec {c}}=[{\vec {a}}{\vec {b}}]=[{\vec {a}},\;{\vec {b}}]={\vec {a}}\times {\vec {b}}={\vec {a}}\wedge {\vec {b}}}


В качестве определения можно взять описанное далее выражение векторного произведения в координатах в правой и левой прямоугольной системе координат.

Также для исходного определения может быть взят набор алгебраических свойств векторного произведения.


Правые и левые тройки векторов в трёхмерном пространстве

Рассмотрим упорядоченную тройку некомпланарных векторов {\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}}{\vec  {a}},{\vec  {b}},{\vec  {c}} в трёхмерном пространстве. Совместим начала этих векторов в точке {\displaystyle A}A (то есть выберем произвольно в пространстве точку {\displaystyle A}A и параллельно перенесём каждый вектор так, чтобы его начало совпало с точкой {\displaystyle A}A). Концы векторов, совмещённых началами в точке {\displaystyle A}A, не лежат на одной плоскости, так как векторы некомпланарны.

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов {\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}}{\vec  {a}},{\vec  {b}},{\vec  {c}} в трёхмерном пространстве называется правой, если с конца вектора {\displaystyle {\vec {c}}}{\vec  {c}} кратчайший поворот от вектора {\displaystyle {\vec {a}}}{\vec  {a}} к вектору {\displaystyle {\vec {b}}}{\vec  {b}} виден наблюдателю против часовой стрелки. И наоборот, если кратчайший поворот виден по часовой стрелке, то тройка называется левой.

Другое определение связано с правой рукой человека (см. рисунок), откуда и берётся название.

Все правые между собой (и левые между собой) тройки векторов называются одинаково ориентированными.

Заметим, что определения «правой» и «левой» тройки векторов не зависят от хиральности рассматриваемой системы координат; более того, они вообще не требуют задания в рассматриваемом пространстве какой-либо системы координат, как и не требует этого само векторное произведение.

Существует также аналитический способ определения тройки векторов. Для этого надо составить матрицу, первой строкой которой будут координаты первого вектора ({\displaystyle {\vec {a}}}{\vec  {a}}), второй строкой координаты второго вектора ({\displaystyle {\vec {b}}}{\vec  {b}}) и третьей строкой координаты третьего вектора ({\displaystyle {\vec {c}}}{\vec  {c}}). Затем в зависимости от значения определителя можно сделать следующие выводы:

  • Если определитель строго положителен, то тройка векторов правая.
  • Если определитель строго отрицателен, то тройка векторов левая.
  • Если определитель равен нулю, то векторы компланарны и, следовательно, линейно зависимы.

    Геометрические свойства векторного произведения

  • Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух ненулевых векторов является равенство нулю их векторного произведения.
  • Модуль векторного произведения {\displaystyle [{\vec {a}},\;{\vec {b}}]}{\displaystyle [{\vec {a}},\;{\vec {b}}]} равняется площади {\displaystyle S}Sпараллелограмма, построенного на приведённых к общему началу векторах {\displaystyle {\vec {a}}}{\vec  {a}} и {\displaystyle {\vec {b}}}{\vec  {b}} (см. Рисунок 1)
  • Если {\displaystyle {\vec {e}}}\vec{e} — единичный вектор, ортогональный векторам {\displaystyle {\vec {a}}}{\vec  {a}} и {\displaystyle {\vec {b}}}{\vec  {b}} и выбранный так, что тройка {\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {e}}}{\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {e}}} — правая, а {\displaystyle S}S — площадь параллелограмма, построенного на них (приведённых к общему началу), то для векторного произведения справедлива формула:

{\displaystyle [{\vec {a}},\;{\vec {b}}]=S\cdot {\vec {e}}}{\displaystyle [{\vec {a}},\;{\vec {b}}]=S\cdot {\vec {e}}}

  • Если {\displaystyle {\vec {c}}}{\vec  {c}} — какой-нибудь вектор, {\displaystyle \pi }\pi  — любая плоскость, содержащая этот вектор, {\displaystyle {\vec {e}}}\vec{e} — единичный вектор, лежащий в плоскости {\displaystyle \pi }\pi  и ортогональный к {\displaystyle {\vec {c}}}{\vec  {c}}, {\displaystyle {\vec {g}}}{\vec  {g}} — единичный вектор, ортогональный к плоскости {\displaystyle \pi }\pi  и направленный так, что тройка векторов {\displaystyle {\vec {e}},{\vec {c}},{\vec {g}}}{\displaystyle {\vec {e}},{\vec {c}},{\vec {g}}} является правой, то для любого лежащего в плоскости {\displaystyle \pi }\pi  вектора {\displaystyle {\vec {a}}}{\vec  {a}} справедлива формула

{\displaystyle [{\vec {a}},\;{\vec {c}}]=\mathrm {Pr} _{\vec {e}}{\vec {a}}\cdot |{\vec {c}}|\cdot {\vec {g}}.}{\displaystyle [{\vec {a}},\;{\vec {c}}]=\mathrm {Pr} _{\vec {e}}{\vec {a}}\cdot |{\vec {c}}|\cdot {\vec {g}}.}

  • При использовании векторного и скалярного произведений можно высчитать объём параллелепипеда, построенного на приведённых к общему началу векторах ab и c (см. Рисунок 2). Такое произведение трех векторов называется смешанным.

{\displaystyle V=|\langle {\vec {a}},\;[{\vec {b}},\;{\vec {c}}]\rangle |.}{\displaystyle V=|\langle {\vec {a}},\;[{\vec {b}},\;{\vec {c}}]\rangle |.}

На рисунке показано, что этот объём может быть найден двумя способами: геометрический результат сохраняется даже при замене «скалярного» и «векторного» произведений местами:

{\displaystyle V=\langle [{\vec {a}},\;{\vec {b}}],\;{\vec {c}}\rangle =\langle {\vec {a}},\;[{\vec {b}},\;{\vec {c}}]\rangle .}{\displaystyle V=\langle [{\vec {a}},\;{\vec {b}}],\;{\vec {c}}\rangle =\langle {\vec {a}},\;[{\vec {b}},\;{\vec {c}}]\rangle .}

Величина векторного произведения зависит от синуса угла между изначальными векторами, поэтому векторное произведение может восприниматься как степень «перпендикулярности» векторов также, как и скалярное произведение может рассматриваться как степень «параллельности». Векторное произведение двух единичных векторов равно 1 (единичному вектору), если изначальные векторы перпендикулярны, и равно 0 (нулевому вектору), если векторы параллельны либо антипараллельны.


 

Theme by Danetsoft and Danang Probo Sayekti inspired by Maksimer